Question

7．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如圖，將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，則關(guān)于函數(shù)g（x）：
①函數(shù)在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上遞減；②函數(shù)圖象關(guān)于x=$\frac{π}{4}$對稱；③函數(shù)在區(qū)間[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]上值域為[-2，1]；④函數(shù)圖象的一個對稱中心為（$\frac{π}{4}$，0），以上說法正確的是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①②③
• D． ①③④

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)圖象可求A，T，進而利用周期公式可求ω，由于（-$\frac{π}{12}$，0）在函數(shù)圖象上，可求φ，函數(shù)f（x）的解析式，利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求g（x）的函數(shù)解析式g（x）=2cos2x，利用余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷．

解答 解：根據(jù)函數(shù)圖象可得：A=2，$\frac{T}{2}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{π}{2}$，可得T=π，
則$ω=\frac{2π}{T}=2$，將x=-$\frac{π}{12}$代入ωx+φ，可得：2×$（-\frac{π}{12}）$+φ=0，
解得：φ=$\frac{π}{6}$，即：f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∵將函數(shù)f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，得到函數(shù)g（x）的圖象，
∴g（x）=2sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x，
g（x）=2cos2x在區(qū)間[0，$\frac{π}{2}$]上遞減，故①正確；
函數(shù)圖象的對稱軸為x=$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，故②錯誤；
當x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]時，2x∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，則cos2x∈[-1，$\frac{1}{2}$]，2cos2x∈[-2，1]，故③正確；
函數(shù)圖象的對稱中心為（$\frac{π}{4}$+$\frac{kπ}{2}$，0）（k∈Z），故④正確，
綜上可知，①③④正確，
故選：D．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，三角函數(shù)周期公式的應用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．