Question

已知數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，且a_n是S_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n，b_n；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為B_n，試比較

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

與1的大小，并證明你的結(jié)論；
（3）設(shè)Tn=

b1

a1

+

b2

a2

+…

bn

an

，求證：T_n＜3．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件得出數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的等式關(guān)系，再結(jié)合二者間的基本關(guān)系，得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù){b_n}的相鄰兩項(xiàng)滿足的關(guān)系得出遞推關(guān)系，進(jìn)一步求出其通項(xiàng)公式；
（2）利用放縮法轉(zhuǎn)化各項(xiàng)是解決該問題的關(guān)鍵，將所求的各項(xiàng)放縮轉(zhuǎn)化為能求和的一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)估計(jì)其和，進(jìn)而達(dá)到比較大小的目的；
（3）利用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求解T_n是解決本題的關(guān)鍵，然后對相應(yīng)的和式進(jìn)行估計(jì)加以解決．

解答：解：（1）由題意可得2a_n=s_n⁺2，

3

22

當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，有2a_n-1=s_n-1⁺2，兩式相減，整理得a_n=2a_n-1，
即數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故a_n=2ⁿ．
點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
因此b_n=2n-1．
（2）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴

1

B1B2

+

1

B2B3

+…+

1

BnBn+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+（

1

2

-

1

3

）+（

1

n

-

1

n+1

）=1-

1

n+1

＜1．
（3）T_n=

1

2

+

3

22

+

5

23

+…+

2n-1

2n

，

1

2

T_n=

1

22

+

3

23

+…

2n-3

2n

+

2n-1

2n+1

，
兩式相減得，

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n

-

2n-1

2n+1

＜

3

2

，
∴T_n＜3．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的判定問題，考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得出數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，考查數(shù)列求和的思想和方法，考查放縮法估計(jì)不等式的有關(guān)問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識(shí)