Question

【題目】如圖所示，正三角形所在平面與梯形所在平面垂直， ， ， 為棱的中點(diǎn).

（1）求證: 平面；

（2）求證： 平面；

（3）若直線與平面所成角的正切值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）

【解析】【試題分析】（1）運(yùn)用線面平行的判定定理進(jìn)行推證；（2）依據(jù)題設(shè)運(yùn)用線面垂直的判定定理進(jìn)行推證；（3）先建立空間直角坐標(biāo)系，再運(yùn)用向量的數(shù)量積工具進(jìn)行求解：

（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以且， ，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以.

平面， 平面，∴平面.

（2）又因?yàn)?/span>為正三角形，所以，

又因?yàn)槊?/span>面，面面. 面，

所以面， .又因?yàn)?/span>，所以面，所以面.

（3）

取中點(diǎn)，再連接.易證面，所以為直線與平面所成的角，即，設(shè)，可求得.

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則， ， ，

所以，

設(shè)平面的法向量為，則，令，得

，所以，

設(shè)面的法向量為，則，令，得， ，

所以，所以，

因?yàn)槎�面�?/span>為鈍角，其余弦值為.