精英家教網(wǎng)如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥平面ABC,AB=2,BD=1,AF=2,CE=3,O為AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值;
(Ⅱ)在DE上是否存在一點(diǎn)P,使CP⊥平面DEF?如果存在,求出DP的長(zhǎng);若不存在,說(shuō)明理由.
分析:(Ⅰ)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系,通過(guò)法向量求出平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值.
(Ⅱ)假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)出坐標(biāo),根據(jù)CP⊥面DEF,得到所以
CP
與平面DEF的法向量n2共線,求出λ,得到DP即可.
解答:解:以O(shè)為原點(diǎn),OB,OC,Oz分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
C(0,
3
,0),D(1,0,1),E(0,
3
,3),F(xiàn)(-1,0,2).
(Ⅰ)平面ABC的法向量為n1=(0,01).
設(shè)平面DEF的法向量為n2=(x,y,z),
DE
=(-1,
3
,2).
n2
DE
=0
n2
DF
=0
-x+
3
y+2z=0
-2x+z=0
所以
z=2x
y=-
3
x

取x=1,得n2=(1,-
3
,2).
所以cos<m1,m2>=
n1n2
|n1||n2|
=
2
1×2
2
=
2
2
,所以平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值為
2
2


(Ⅱ)假設(shè)在DE存在一點(diǎn)P,設(shè)P(x,y,z),
因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">
DP
DE
,故(x-1,y,z-1)=λ(-1,
3
,2),
所以P(-λ+1,
3
λ,2λ+1),所以CP=(-λ+1,
3
λ-
3
,2λ+1).
因?yàn)槠紺P⊥面DEF,所以
CP
與平面DEF的法向量n2共線,
所以
-λ+1
1
=
3
λ-
3
-
3
=
2λ+1
2
,解得λ=
1
4
,
所以
DP
=
1
4
DE
,即|DP|=
1
4
|DE|,所以DP=
2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的判定,以及與二面角相關(guān)的立體幾何問(wèn)題綜合運(yùn)用.通過(guò)數(shù)形結(jié)合,以及對(duì)知識(shí)的綜合考查,達(dá)到考查學(xué)生基本能力的目的,屬于中檔題.
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平面ABC,AB=2,AF=2,CE=3,BD=1,O為BC的中點(diǎn).
(1)求證:AO∥平面DEF;
(2)求證:平面DEF⊥平面BCED;
(3)求平面DEF與平面ABC相交所成銳角二面角的余弦值.

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如圖所示的幾何體是由以等邊三角形ABC為底面的棱柱被平面DEF所截而得,已知FA⊥平面ABC,BD=1,AF=2,CE=3,O為AB的中點(diǎn).
(1)求證:OC⊥DF;
(2)試問(wèn)線段CE上是否存在一點(diǎn)P,使得OP∥平面DEF?若存在,求出CP的長(zhǎng)度,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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