Question

函數(shù)f(x)=

x2-2x+1

+2

4-4x+x2

．
（Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）關(guān)于x的不等式f（x）＜m有解，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

x2-2x+1

+2

4-4x+x2

=|x-1|+2|x-2|=

-3x+5，x≤1 -x+3，1＜x＜2 3x-5，x≥2

，再分段確定函數(shù)的取值范圍．進(jìn)而可得f（x）的值域；
（Ⅱ）要使關(guān)于x的不等式f（x）＜m有解，則f（x）_min＜m，由（Ⅰ）知f（x）_min=1，故可求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f(x)=

x2-2x+1

+2

4-4x+x2

=|x-1|+2|x-2|=

-3x+5，x≤1 -x+3，1＜x＜2 3x-5，x≥2

當(dāng)x≤1時(shí)，-3x+5≥2；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，-x+3∈（1，2）；當(dāng)x≥2時(shí)，3x-5≥1；
∴f（x）的值域是[1，+∞）
（Ⅱ）要使關(guān)于x的不等式f（x）＜m有解，則f（x）_min＜m
由（Ⅰ）知f（x）_min=1，∴m＞1
∴實(shí)數(shù)m的范圍為（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題是選考題，考查不等式內(nèi)容，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，再確定原來函數(shù)的值域是關(guān)鍵，對(duì)于關(guān)于x的不等式f（x）＜m有解，轉(zhuǎn)化為f（x）_min＜m求解．