C
分析:解分式不等式求出集合A,根據(jù)集合B可得a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.利用導數(shù)求得h(x)=x-xlnx的值域為(-∞,1],要使不等式a≤xlnx 在(0,+∞)上有解,
只要a小于或等于h(x)的最大值即可,即a≤1 成立,故B={a|a≤1},由此求得A∩B.
解答:集合A={x∈R|
≤2}={x|
}={x|
}={x|(x-1)(2x-1)≥0,且2x-1≠0}
={x|x<
,或 x≥1}.
由集合B 可知f(x)的定義域為{x|x>0},不等式
-1+lnx≤0有解,
即不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解.
令h(x)=x-xlnx,可得h′(x)=1-(lnx+1)=-lnx,令h′(x)=0,可得 x=1.
再由當0<x<1 時,h′(x)>0,當x>1 時,h′(x)<0,可得當x=1時,h(x)=x-xlnx 取得最大值為 1.
要使不等式a≤x-xlnx 在(0,+∞)上有解,只要a小于或等于h(x)的最大值即可.
即a≤1 成立,所以集合B={a|a≤1}.
所以A∩B={x|x<
,或 x=1}.
故選C.
點評:本題主要考查集合的表示方法、分式不等式的解法,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性,根據(jù)函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域,兩個集合的交集的定義和求法,屬于中檔題.