Question

已知△ABC是正三角形，GC是△ABC的中線，EA、FB、CD都垂直于平面ABC．EA=3a，AB=CD=2a，F(xiàn)B=a，設(shè)平面EDF與平面ABC的交線為l．
（1）證明GC∥l；
（2）證明平面EABF與平面EDF垂直；
（3）求多面體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析：（1）取EF中點(diǎn)H，連DH，HG，易證四邊形HGCD是平行四邊形，由線面平行的性質(zhì)定理可證GC∥l；
（2））△ABC是正三角形，G是AB的中點(diǎn)，可證得CG⊥AB，而CG⊥AB，于是可證CG⊥平面ABFE，從而可證平面EABF⊥平面EDF；
（3）利用割補(bǔ)法可求得多面體ABCDEF的體積．

解答：證明：（1）取EF中點(diǎn)H，連DH，HG…1′
在梯形EABF中，HG是梯形中位線，故HG∥DC，HG

|EA|+|BF|

2

=

3a+a

2

=2a=CD，
∴四邊形HGCD是平行四邊形，…3′
∴CG∥DH，
∴CG∥平面EFD，平面EDF∩平面ABC=l
∴CG∥l…5′
（2）△ABC是正三角形，G是AB的中點(diǎn)，
∴CG⊥AB，
∵AE⊥CG，
∴CG⊥平面ABFE，
∴DH⊥平面ABFE，
∴平面EABF⊥平面EDF；…9′
（3）∵三棱柱EMN-ABC的體積V₁=S_ABC•|AE|=

1

2

•2a•2a•sin60°•3a=3

3

a³，
而四棱錐E-MFDN的體積V₂=

1

3

•S_MFDN•h（h為該四棱錐的高，其數(shù)值為底面等邊△EMN的底邊MN上的高），
∴V₂=

1

3

•

(|MF|+|DN|)

2

•h
=

1

3

•

(2a+a)2a

2

•

3

a
=

3

a³，
∴多面體ABCDEF的體積V=V₁-V₂=3

3

a³-

3

a³=2

3

a³．…12′

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的性質(zhì)，考查平面與平面垂直的判定及合幾何體的體積問題，考查割補(bǔ)法，屬于中檔題．