Question

8．已知向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為120°，且$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=2$，若$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，則實(shí)數(shù)λ的值為（　�。�

• A． $\frac{4}{5}$
• B． $-\frac{4}{5}$
• C． $\frac{2}{5}$
• D． $-\frac{2}{5}$

Answer 1

分析 根據(jù)向量數(shù)量積的公式，結(jié)合向量垂直的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{AC}$的夾角為120°，且$|{\overrightarrow{AB}}|=1$，$|{\overrightarrow{AC}}|=2$，
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=$|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|$cos120°=1×2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
∵$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}⊥\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}$=（$\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$）=0，
即$-|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+λ|\overrightarrow{AC}{|}^{2}+（1-λ）\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0$，
∴-1+4λ-（1-λ）=0，
解得λ=$\frac{2}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算，利用向量垂直和數(shù)量積之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．