Question

在一條筆直的工藝流水線上有個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為，，，，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．

（Ⅰ）若，每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；

（Ⅱ）若，工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為，，，，，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)間距離最短，列出各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為,然后分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，求函數(shù)取最小值滿足的條件即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）首先列出各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為 ，然后分段討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，化為分段函數(shù)，求函數(shù)取最小值滿足的條件即可.

【解析】

試題分析：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為．

（Ⅰ）       2分

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是增函數(shù)．

則當(dāng)時(shí)，式取最小值，即供應(yīng)站的位置為內(nèi)的任意一點(diǎn)．     分

（Ⅱ）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為

．          7分

類似于（Ⅰ）的討論知，，且有

           分

所以，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是常數(shù)．故供應(yīng)站位置位于區(qū)間上任意一點(diǎn)時(shí)，均能使函數(shù)取得最小值，且最小值為．               13分

考點(diǎn):綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力