Question

1．在△ABC中，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，$|{\overrightarrow{AB}}|=3$，$|{\overrightarrow{BC}}|=5$，$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}$，點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}+（{1-λ}）\overrightarrow{AC}$，λ∈R，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AD}$為5．

Answer 1

分析 利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系可得AD⊥BC，利用向量共線定理可得|$\overrightarrow{BD}$|與|$\overrightarrow{DC}$|的值，利用勾股定理可得|$\overrightarrow{AD}$|的值，再建立直角坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算即可求出．

解答 解：△ABC中，$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{BC}=0$，
∴$\overrightarrow{AD}$⊥$\overrightarrow{BC}$，即AD⊥BC；
∵|$\overrightarrow{BC}$|=5，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{DC}$，
∴|$\overrightarrow{BD}$|=$\frac{2}{3}$|$\overrightarrow{DC}$|，
即|$\overrightarrow{BD}$|=2，|$\overrightarrow{DC}$|=3；
又|$\overrightarrow{AB}$|=3，∴|$\overrightarrow{AD}$|=$\sqrt{5}$．
如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．
則D（0，0），A（0，$\sqrt{5}$），B（-2，0），C（3，0）．
∴$\overrightarrow{AB}$=（-2，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{AC}$=（3，-$\sqrt{5}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，-$\sqrt{5}$）．
點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+（1-λ）$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=λ（-2，-$\sqrt{5}$）+（1-λ）（3，-$\sqrt{5}$）=（3-5λ，-$\sqrt{5}$），
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AD}$=（3-5λ，-$\sqrt{5}$）•（0，-$\sqrt{5}$）=5．
故答案為：5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，是綜合性題目．