(2011•揭陽一模)已知定點(diǎn)A(-3,0),MN分別為x軸、y軸上的動點(diǎn)(M、N不重合),且AN⊥MN,點(diǎn)P在直線MN上,
NP
=
3
2
MP

(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)Q是曲線x2+y2-8x+15=0上任一點(diǎn),試探究在軌跡C上是否存在點(diǎn)T?使得點(diǎn)T到點(diǎn)Q的距離最小,若存在,求出該最小距離和點(diǎn)T的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
分析:(1)設(shè)出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)、點(diǎn)P的坐標(biāo),用坐標(biāo)表示向量AN,MN,MN,NP,根據(jù)AN⊥MN、
NP
=
3
2
MP
,即可得到動點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(2)曲線表示以B(4,0)為圓心,以1為半徑的圓,設(shè)T為軌跡C上任意一點(diǎn),連接TB,則|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1,故當(dāng)|TB|最小時(shí),|TQ|最。
解答:解:(1)設(shè)點(diǎn)M、N的坐標(biāo)分別為(a,0),(0,b),(a≠0,b≠0),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
AN
=(3,b),
NM
=(a,-b)
,
MP
=(x-a,y),
NP
=(x,y-b)
,
由AN⊥MN得3a-b2=0,------------(※)----------(2分)
NP
=
3
2
MP
x=
3
2
(x-a),y-b=
3
2
y
--------------------------------------(3分)
a=
1
3
x,b=-
1
2
y
代入(※)得y2=4x----------------------------------------(5分)
∵a≠0,b≠0∴x≠0,y≠0
∴動點(diǎn)P的軌跡C的方程為y2=4x(x≠0)-------------------------------------(6分)
(2)曲線x2+y2-8x+15=0,即(x-4)2+y2=1,是以B(4,0)為圓心,以1為半徑的圓,
設(shè) T為軌跡C上任意一點(diǎn),連接TB,則|TQ|+|QB|≥|TB|⇒|TQ|≥|TB|-1--------------------------------(8分)
∴當(dāng)|TB|最小時(shí),|TQ|最。---------------------------------------------------(9分)
∵點(diǎn)T在軌跡C上,設(shè)點(diǎn)T(
m2
4
,m)
(m≠0)
|TB|=
(
m2
4
-4)
2
+m2
=
1
16
(m2-8)2+12
---------------------------------(11分)
當(dāng)m2=8,即m=±2
2
時(shí),|TB|有最小值,|TB|min=2
3
-----------------------(12分)
當(dāng)m2=8時(shí),
m2
4
=2

∴在軌跡C上是存在點(diǎn)T,其坐標(biāo)為(2,±2
2
)
,使得|TQ|最小,|TQ|min=2
3
-1
.--(14分)
點(diǎn)評:本題考查軌跡方程,考查探究性問題,解題的關(guān)鍵是利用曲線的特殊性,將點(diǎn)T到點(diǎn)Q的距離進(jìn)行轉(zhuǎn)化.
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1
4
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π
2
)
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3
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2
3
2
3

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1lg(x-1)
的定義域?yàn)?!--BA-->
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