Question

5．已知函數f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1（x∈R），
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 利用三角恒等變換化函數f（x）為正弦型函數，
（Ⅰ）由此求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根據x的取值范圍，求出2x+$\frac{π}{6}$的取值范圍，再根據正弦函數的圖象與性質，即可求出f（x）的值域．

解答 解：函數f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx-1
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\sqrt{3}$sin2x-1
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），（x∈R）；
（Ⅰ）則函數f（x）的最小正周期為
T=$\frac{2π}{ω}$=$\frac{2π}{2}$=π；
（Ⅱ）當x∈[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]時，
∴2x∈[-$\frac{π}{6}$，π]，
∴2x+$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，1]，
∴2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[0，2]，
即函數f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{2}$]上的值域是[0，2]．

點評 本題考查了三角函數的圖象與性質的應用問題，也考查了三角恒等變換的應用問題，是基礎題目．