Question

8．已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系的x軸的正半軸重合．直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$）．
（1）求曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程；
（2）設直線l與曲線C相交于M，N兩點，求M，N兩點間的距離．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程．
曲線C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），利用互化公式可得曲線C的直角坐標方程．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：5t²-21t+20=0，利用|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{3}{5}t}\\{y=-1+\frac{4}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），消去參數(shù)t，可得直線l的普通方程：4x-3y+1=0．
曲線C的極坐標方程為ρ=$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），展開可得：ρ²=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$ρ（sinθ+cosθ），可得曲線C的直角坐標方程：
x²+y²=x+y．
（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的方程可得：5t²-21t+20=0，
∴t₁+t₂=$\frac{21}{5}$，t₁•t₂=4．
∴|MN|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{\sqrt{41}}{5}$．

點評 本題考查了直線參數(shù)的應用、極坐標方程化為直角坐標方程、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．