分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(1)的值,代入切線方程即可;
(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出g(x)的最大值,問題等價于a≥x-x2lnx恒成立,記h(x)=x-x2lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.
解答 解:(1)當a=1時,f(x)=1x+xlnx…(1分),
f′(x)=lnx+1−1x2,x∈(0,+∞)…(2分)
函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線的斜率,
∴k切=f'(1)=0,又切點為(1,1)…(3分)
所以f(x)在(1,1)處的切線方程為y=1…(4分)
(2)對于函數(shù)g(x)=x3-x2-3,g′(x)=3x(x-23),x∈[12,2],
令g′(x)=0,得x=0或x=23 …(5分)
當x變化時,g′(x),g(x)變化情況如下表:
x | 12 | (12,23) | 23 | (23,2) | 2 |
g′(x) | - | 0 | + | ||
g(x) | -3 | 遞減 | 極(最)小值-8527 | 遞增 | 1 |
點評 本題考查了曲線的切線方程問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,-1]∪[4,+∞) | B. | (-∞,-1]∪[3,+∞) | C. | [-1,0]∪[3,4] | D. | (-∞,0]∪[3,+∞) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | (-∞,0)∪[\frac{1}{e},+∞) | B. | (0,\frac{1}{e}] | C. | [\frac{1}{e},+∞) | D. | (-∞,0) |
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