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4.設(shè)f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.
(1)當a=1時,求f(x)在點(1,1)處的切線方程.
(2)如果對任意的st[122],都有f(s)≥g(t)成立,求實數(shù)a的取值范圍.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),得到f′(1)的值,代入切線方程即可;
(2)求出g(x)的導(dǎo)數(shù),得到g(x)的單調(diào)區(qū)間,從而求出g(x)的最大值,問題等價于a≥x-x2lnx恒成立,記h(x)=x-x2lnx,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可.

解答 解:(1)當a=1時,fx=1x+xlnx…(1分),
fx=lnx+11x2x0+…(2分)
函數(shù)f(x)在(1,1)處的切線的斜率,
∴k=f'(1)=0,又切點為(1,1)…(3分)
所以f(x)在(1,1)處的切線方程為y=1…(4分)
(2)對于函數(shù)g(x)=x3-x2-3,g′(x)=3x(x-23),x∈[12,2],
令g′(x)=0,得x=0或x=23   …(5分)
當x變化時,g′(x),g(x)變化情況如下表:

x1212232323,2)2
g′(x)-0+
g(x)-3遞減極(最)小值-8527遞增1
由上表可知:g(x)min=g(23)=-8527,g(x)max=g(2)=1,…(6分)
所以在區(qū)間[12,2]上,g(x)的最大值為g(2)=1.
因此,原問題等價于當x∈[12,2]時,f(x)≥1恒成立
等價于a≥x-x2lnx恒成立,…(7分)
記h(x)=x-x2lnx,h′(x)=1-2xlnx-x,h′(1)=0…(8分)
記m(x)=1-2xlnx-x,m′(x)=-3-2lnx,由于x∈[12,2],
m′(x)=-3-2lnx<0,所以m(x)=h′(x)=1-2xlnx-x在[12,2]上遞減,
當x∈[12,1)時,h′(x)>0,x∈(,1,2]時,h′(x)<0,
即函數(shù)h(x)=x-x2lnx在區(qū)間[12,1)上遞增,在區(qū)間(1,2]上遞減,
所以h(x)max=h(1)=1,…(9分)
所以a≥1.(10分)

點評 本題考查了曲線的切線方程問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題,是一道中檔題.

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