Question

設函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=2-|x|；  
②f（x）=2sin²x-

3

sin2x-1；  
③f（x）=

x

x2-x+3

；
④f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，且對一切x₁，x₂均有|f（x₁）-f（x₂）|≤2|x₁-x₂|．
其中是“倍約束函數(shù)”的有（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：①，易知f（x）=2-|x|≤2，即其值域為（-∞，2]，可判斷①；  
②，利用降冪公式與輔助角公式可得f（x）=2sin²x-

3

sin2x-1=-2sin（2x+

π

6

），依題意可判斷②；  
③，通過對x的取值范圍，分x=0、x＞0與x＜0三類討論，利用基本不等式可得f（x）=

x

x2-x+3

的取值范圍，從而可判斷③；
④，依題意，不妨令f（x）=2x，可判斷④．

解答： 解：對于①，f（x）=2-|x|≤2，不存在常數(shù)M＞0，使|f（x）|≤M|x|對一切實數(shù)x均成立，故①不是“倍約束函數(shù)”；  
對于②，f（x）=2sin²x-

3

sin2x-1=-cos2x-

3

sin2x=-2sin（2x+

π

6

），|f（x）|≤2，
故存在常數(shù)M=2，使|f（x）|≤2|x|對一切實數(shù)x均成立，故②是“倍約束函數(shù)”；
對于③，f（x）=

x

x2-x+3

，當x=0時，f（x）=0；
當x＞0，0＜f（x）=

1

x+ 3 x -1

≤

1

2 3 -1

=

2 3 +1

11

；
當x＜0時，0＞f（x）=

1

x+ 3 x -1

≥

1

-2 3 -1

；
故存在常數(shù)M=

2 3 +1

11

，使|f（x）|≤

2 3 +1

11

|x|對一切實數(shù)x均成立，故③是“倍約束函數(shù)”；  
對于④，依題意，曲線y=f（x）上任意一點的切線的斜率k≤2，不妨令f（x）=2x，存在常數(shù)M=2＞0，k≤2對一切實數(shù)x均成立，故④是“倍約束函數(shù)”；  
綜上所述，是“倍約束函數(shù)”的有3個，
故選：C．

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)的綜合應用，考查分類討論思想與邏輯思維能力、運算能力的綜合應用，屬于難題．