Question

已知函數f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3，x∈[

π

4

，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若方程f（x）=m僅有一解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：三角函數的最值,三角函數中的恒等變換應用

專題：常規(guī)題型

分析：第（1）問，首先要把函數化成標準形式，然后根據x的取值范圍求函數的最大值與最小值；
第（2）問要把方程解的個數問題轉化成兩個圖象的公共點個數，利用數形結合求解．

解答： 解：（1）f（x）=2sin²（x-

π

4

）+

3

cos2x-3
=-cos（2x-

π

2

）+

3

cos2x-2   
=

3

cos2x-sin2x-2
=2cos（2x+

π

6

）-2
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]
∴當2x+

π

6

=

2π

3

時，函數f（x）取最大值-1，
  當2x+

π

6

=π時，函數 f（x）取最小值-4．
（2）方程f（x）=m僅有一解，則函數y=f（x）的圖象與函數y=m的圖象僅有一個公共點，
  畫出圖象如圖所示，由圖象可知，當-

3

-2＜m≤-3或m=-4兩個圖象有且僅有一個公共點．
  所以m的取值范圍為-

3

-2＜m≤-3或m=-4．

點評：本題考查了三解函數的最值求法，關鍵是化成標準形式；研究方程解的個數，關鍵是轉化成圖象的交點個數問題解決，考查了數形結合與轉化的思想．