Question

一個(gè)不透明的口袋內(nèi)裝有材質(zhì)、重量、大小相同的7個(gè)小球，且每個(gè)小球的球面上要么只寫(xiě)有數(shù)字“2010”，要么只寫(xiě)有文字“世博會(huì)”．假定每個(gè)小球每一次被取出的機(jī)會(huì)都相同，又知從中摸出2個(gè)球都寫(xiě)著“世博會(huì)”的概率是

1

7

．現(xiàn)甲、乙兩個(gè)小朋友做游戲，方法是：不放回從口袋中輪流摸取一個(gè)球，甲先取、乙后取，然后甲再取，直到兩個(gè)小朋友中有一人取得寫(xiě)著文字“世博會(huì)”的球時(shí)游戲終止．
（1）求該口袋內(nèi)裝有寫(xiě)著數(shù)字“2010”的球的個(gè)數(shù)；
（2）求當(dāng)游戲終止時(shí)總球次數(shù)ξ的概率分布列和期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）設(shè)該口袋內(nèi)裝有寫(xiě)著“2010”的球的個(gè)數(shù)為n個(gè)，依據(jù)條件列出方程得

C 2 7-n

T-

=

1

7

，解之的所求結(jié)果．
（2）ξ的所有可能值為：1，2，3，4，5，求出ξ取每一個(gè)值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率，即得分布列，有分布列，依據(jù)求數(shù)學(xué)期望的公式求得期望Eξ．

解答：解：（1）設(shè)該口袋內(nèi)裝有寫(xiě)著“2010”的球的個(gè)數(shù)為n個(gè)．
依題意得

C 2 7-n

T-

=

1

7

，解之得n=4
所以該口袋內(nèi)裝有寫(xiě)著“2010”的球的個(gè)數(shù)為4個(gè)（6分）
（2）ξ的所有可能值為：1，2，3，4，5．
且P（ξ=1）=

3

7

，P（ξ=2）=

4

7

×

3

6

=

2

7

，
P（ξ=3）=

4

7

×

3

6

×

3

5

=

6

35

，
P（ξ=4）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

3

4

=

3

35

，
P（ξ=5）=

4

7

×

3

6

×

2

5

×

1

4

×

3

3

=

1

35

故ξ的分布列為：
（11分）
從而期望Eξ=1×

15

35

+2×

10

35

+3×

6

35

+4×

3

35

+5×

1

35

=

70

35

=2．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查隨機(jī)事件的概率的求法，以及求離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的方法．