Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為．

（1）用表示出；

（2）若在上恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：．

 

Answer 1

【答案】

 

【解析】（Ⅰ），則有，解得　…．3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

令，

則 ，…………．5分

（i）當(dāng) ，

若 ，則，是減函數(shù)，所以

，故在上恒不成立。

（ii）時(shí)， …………………………………．7分

若，故當(dāng)時(shí)，綜上所述，

所求的取值范圍為

（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，有。

令，有

當(dāng)時(shí)，。…………………………8分

令，有

即 ，……………………．10分

將上述個(gè)不等式一次相加得

整理得：……………………．12分

解法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明

（1）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，不等式成立……………．8分

（2）假設(shè)時(shí)，　不等式成立，　就是　

　                           

那么

…………………………………．9分

由（Ⅱ）知：當(dāng)時(shí)，有

令，有…………………………10分

令，得：

………………………12分

就是說(shuō)， 當(dāng)時(shí)，不等式也成立。

根據(jù)（1）和（2），可知不等式對(duì)任何都成立。