Question

13．若$α∈（0，\frac{π}{2}）$，且${sin^2}α+cos2α=\frac{1}{4}$，則tanα的值等于（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． 1
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 把已知的等式中的cos2α，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡后，得到關(guān)于sinα的方程，根據(jù)α的度數(shù)，求出方程的解即可得到sinα的值，然后利用特殊角的三角函數(shù)值，由α的范圍即可得到α的度數(shù)，利用α的度數(shù)求出tanα即可．

解答 解：由cos2α=1-2sin²α，得到sin²α+cos2α=1-sin²α=$\frac{1}{4}$，
則sin²α=$\frac{3}{4}$，又α∈（0，$\frac{π}{2}$），
所以sinα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則α=$\frac{π}{3}$，
所以tanα=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$．
故選：D．

點評 此題考查學(xué)生靈活運用二倍角的余弦函數(shù)公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求值，學(xué)生做題時應(yīng)注意角度的范圍，屬于基礎(chǔ)題．