精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
已知圓x2+y2=4內一定點M(0,1),經M且斜率存在的直線交圓于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,過點A、B分別作圓的切線l1,l2.設切線l1,l2交于點Q.
(1)設點P(x,y)是圓上的點,求證:過P的圓的切線方程是
(2)求證Q在一定直線上.
【答案】分析:(1)當P不在坐標軸上時,求得切線的斜率,用點斜式求得切線方程,當P在x、y軸上時,經檢驗也滿足,從而得出結論.
(2)設直線AB的方程為y=kx+1,代入x2+y2=4得(1+k2)x2+2kx-3=0,利用一元二次方程根與系數的關系以及(1)的結論求得Q(x,y)的坐標,可得Q(x,y)的坐標滿足直線y=4的方程,從而得出結論.
解答:解:(1)當P不在坐標軸上時,OP的斜率為,故切線的斜率為,故切線方程為
,可得
當P在y軸上時,P(0,2)或P(0,-2),此時切線方程為y=2或y=-2,上述方程也滿足.
同理可得,當P在x上時上述方程也滿足,
綜上,原命題得證.
(2)設直線AB的方程為y=kx+1,
代入x2+y2=4得(1+k2)x2+2kx-3=0,∴(定值).
設Q(x,y),,解得
把y1=kx1+1,y2=kx2+1代入得:y=4,x=-4k.
故Q在一定直線y=4上.
點評:本題主要考查求圓的切線方程,一元二次方程根與系數的關系,直線過定點問題,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

4、已知圓x2+y2=4,過A(4,0)作圓的割線ABC,則弦BC中點的軌跡方程是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4上恰有兩個點到直線4x-3y+c=0的距離為1,則實數c的取值范圍是
(-15,-5)∪(5,15)
(-15,-5)∪(5,15)

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

已知圓x2+y2=4內一定點M(0,1),經M且斜率存在的直線交圓于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點,過點A、B分別作圓的切線l1,l2.設切線l1,l2交于點Q.
(1)設點P(x0,y0)是圓上的點,求證:過P的圓的切線方程是
x
 
0
x+y0y=4

(2)求證Q在一定直線上.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4上有且僅有三個點到直線12x-5y+c=0的距離為1,則實數c的值是
±13
±13

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:

在平面直角坐標系xOy中,已知圓x2+y2=4及點P(1,1),則過點P的直線中,被圓截得的弦長最短時的直線的方程是
x+y-2=0
x+y-2=0

查看答案和解析>>

同步練習冊答案