Question

已知函數(shù)f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=1代入函數(shù)解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，得到f′（2），再求出f（2），直接寫切線方程的點斜式；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由a＜0，解出導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0的x的范圍，則答案可求．

解答：解：（Ⅰ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，
當(dāng)a=1時，f（x）=

2x

x2+1

，f'（x）=

1-x2

(x2+1)2

．
f（2）=

4

5

，則切點為（2，

4

5

）．
f'（2）=-

3

25

，則切線斜率為-

3

25

，
用點斜式得切線方程為：y-

4

5

=-

3

25

（x-2），即3x+25y-26=0；
（Ⅱ）由f(x)=

2ax-a2+1

x2+1

(x∈R)，得
f'（x）=

-2ax2+(2a2-2)x+2a

(x2+1)2

=

-2(ax+1)(x-a)

(x2+1)2

．
當(dāng)a＜0時，由-2（ax+1）（x-a）＞0，解得：a＜x＜-

1

a

．
由-2（ax+1）（x-a）＜0，解得：x＜a或x＞-

1

a

．
∴遞減區(qū)間是（-∞，a），（-

1

a

，+∞），遞增區(qū)間是（a，-

1

a

）．
極小值是f（a）=1，極大值是f（-

1

a

）=

a2(1-a2)

1+a2

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值，是中檔題．