Question

（文科）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中點(diǎn)．其中正確的是

 

①面PAD⊥面PCD；
②AC與PB所成角的余弦值為

10

5

；
③面AMC與面BMC所成二面角的余弦值為-

2

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,異面直線及其所成的角,空間中直線與平面之間的位置關(guān)系,二面角的平面角及求法

專題：綜合題,空間角,空間向量及應(yīng)用

分析：由題設(shè)，①可由面面垂直的判定定理直接證明，得出結(jié)論是正確的；
②③根據(jù)題設(shè)可選擇用空間向量法來做，建立如圖的空間坐標(biāo)系，即可判斷出兩者也是正確的

解答： 解：①由題意，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，又四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，可得AD⊥CD，由線面垂直的判定定理可得CD⊥面PAD，再由面面垂直的判定定理可得面PAD⊥面PCD，故①正確；
②建立如圖所示的坐標(biāo)系，可得A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），P（0，0，1），可得：

AC

=（1，1，0），

PB

=（0，2，-1），故AC與PB所成角的余弦值為|

AC • PB

| AC |×| PB |

|=

10

5

，故②正確；
③在MC上取一點(diǎn)N（x，y，z），則存在實(shí)數(shù)λ使

NC

=λ

MC

，

NC

=（1-x，1-y，y-z），

MC

=（1，0，-

1

2

），
x=1-λ，y=1，z=

1

2

λ，要使AN⊥MC，只需

AN

•

MC

=0，即x-

1

2

z=0，解得λ=

4

5

，
可知，當(dāng)λ=

4

5

時(shí)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

5

，-1，

2

5

），此時(shí)有

AN

=（

1

5

，-1，

2

5

），

BN

=（-

1

5

，1，-

2

5

），
此時(shí)有

AN

•

BN

=0，故可得AN，BN都與MC垂直，故∠ANB即為所求二面角的平面角，
又cos∠ANB=

AN • BN

|AN||BN|

=

- 1 5 × 1 5 -1×1- 2 5 × 2 5

( 1 5 )2+(-1)2+( 2 5 )2 × (- 1 5 )2+(1)2+(- 2 5 )2

=-

2

3

，故③正確
綜上得①②③都正確
故答案為：①②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間中面面垂直的判斷，線線角與面面角的求法，是立體幾何中綜合性較強(qiáng)的題，運(yùn)算難度大，由于本題的二面角的平面角用傳統(tǒng)方法不易找出，利用空間向量解此類題比較有效