Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（2-x）=f（x），f（1）=1，且f（x）在（0，1）上單調(diào)，則方程f（x）=|lgx|的實(shí)根的個數(shù)為（　�。�

A．5

B．6

C．10

D．12

Answer 1

分析：利用函數(shù)的奇偶性和對稱性，可得函數(shù)的對稱性，然后分別作出函數(shù)y=f（x）和y=|lgx|的圖象，利用圖象確定方程根的個數(shù)．

解答：解：∵函數(shù)為奇函數(shù)，且f（2-x）=f（x），
∴f（2-x）=f（x）=-f（x-2），即f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），即函數(shù)f（x）的周期為4．
由f（2-x）=f（x），得到函數(shù)的對稱軸為x=1，
當(dāng)lgx=1時，解得x=10．
作出函數(shù)y=f（x）和y=|lgx|的圖象如圖：
則由圖象可知，兩個函數(shù)的圖象交點(diǎn)個數(shù)為6個．
故方程f（x）=|lgx|的實(shí)根的個數(shù)為6個．
故選：B．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)交點(diǎn)個數(shù)的判斷，利用函數(shù)的奇偶性和對稱性可得函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合可以求出兩個函數(shù)的交點(diǎn)．