Question

△ABC的三條邊長(zhǎng)BC=a，AC=b，AB=c，O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，則點(diǎn)O是△ABC的（　　）

A．外心

B．重心

C．內(nèi)心

D．垂心

Answer 1

分析：先延長(zhǎng)AO與BC相交于D，設(shè)

OD

=t

AO

，由條件得

AO

=

1

a

(b

OB

+c

OC

)，從而

OD

=

tb

a

OB

+

tc

a

OC

，利用D，B，C三點(diǎn)共線，得出t=

a

b+c

，再代入

OD

=

a

b+c

AO

=

a

b+c

×

1

a

(b

OB

+c

OC

)中得到

| BD |

| DC |

=

c

b

，根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理可知，AD是角BAC的平分線，最終得出點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．

解答：解：延長(zhǎng)AO與BC相交于D，設(shè)

OD

=t

AO

，
∵a

OA

+b

OB

+c

OC

=

0

，
∴

AO

=

1

a

(b

OB

+c

OC

)，
∴

OD

=t ×

1

a

(b

OB

+c

OC

)，
即

OD

=

tb

a

OB

+

tc

a

OC

，
∵D，B，C三點(diǎn)共線，
∴

tb

a

+

tc

a

=1，∴t=

a

b+c

，
∴

OD

=

a

b+c

AO

=

a

b+c

×

1

a

(b

OB

+c

OC

)
即

OD

=

b

b+c

OB

+

c

b+c

OC

，
也即b(

OD

-

OB

)=c(

OC

-

OD

)，
⇒b

BD

=c

DC

⇒

| BD |

| DC |

=

c

b

，
根據(jù)三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理可知，AD是∠BAC的平分線，
同理可得BO是∠ABC的平分線，CO是∠ACB分線．
則點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查三角形五心、向量的運(yùn)算、三點(diǎn)共線等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．