【題目】如圖,已知曲線,曲線, 是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn),則稱為“型點(diǎn)”.
(1)證明: 的左焦點(diǎn)是“型點(diǎn)”;
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證: ,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”;
(3)求證: 內(nèi)的點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”.
【答案】(1) ;(2)見解析;(3)見解析.
【解析】試題分析:(1)由題意的左焦點(diǎn)為,過的直線與、交于,即可判定,得出直線方程;
(2)聯(lián)立方程組和,根據(jù)方程有解,即可求解的范圍,從而判斷原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”;
(3)以為邊界的正方形區(qū)域記為,分點(diǎn)在的邊界上,和是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),兩種情況分類討論,進(jìn)而說明,聯(lián)立方程組,得出,得出直線與曲線沒有公共點(diǎn),從而證得結(jié)論.
試題解析:
(1)的左焦點(diǎn)為,
過的直線與交于,與交于,故的左焦點(diǎn)為“型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線與有交點(diǎn),則,
若方程組有解,則必須;
直線與有交點(diǎn),則,
若方程組有解,則必須
故直線至多與曲線和中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”
(3)以為邊界的正方形區(qū)域記為.
1)若點(diǎn)在的邊界上,則該邊所在直線與相切,與有公共部分,即邊界上的點(diǎn)都是“型點(diǎn)”;
2)設(shè)是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn),即,
假設(shè)是“型點(diǎn)”,則存在過點(diǎn)的直線與都有公共點(diǎn).
ⅰ)若直線與有公共點(diǎn),直線的方程化為,假設(shè),則,
可知直線在之間,與無公共點(diǎn),這與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾,所以得到:與有公共點(diǎn)的直線的斜率滿足.
ⅱ)假設(shè)與也有公共點(diǎn),則方程組有實(shí)數(shù)解.
從方程組得,
,由,
因?yàn)?/span>
所以, ,即直線與沒有公共點(diǎn),與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾,于是可知不是“型點(diǎn)”.
證明完畢
另解:
令,因?yàn)?/span>,所以|,即.于是可知的圖像是開口向下的拋物線,且對(duì)稱軸方程為是,因?yàn)?/span>,
所以在區(qū)間上為增函數(shù),在上為減函數(shù).
因?yàn)?/span>, ,所以對(duì)任意,都有,即直線與沒有公共點(diǎn),與“直線與有公共點(diǎn)”矛盾,于是可知不是“型點(diǎn)”.
證明完畢.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有“今有金箠,長(zhǎng)五尺,斬本一尺,重四斤,斬末一尺,重二斤,問次一尺各重幾何?”意思是:“現(xiàn)有一根金箠,一頭粗,一頭細(xì),在粗的一端截下1尺,重4斤;在細(xì)的一端截下1尺,重2斤;問依次每一尺各重多少斤?”根據(jù)上題的已知條件,若金箠由粗到細(xì)是依次等量減小的,則正中間一尺的重量為________.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓: ,橢圓以的長(zhǎng)軸為短軸,且與有相同的離心率.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)分別在橢圓和上, ,求直線的方程.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合M={f(x)|f2(x)﹣f2(y)=f(x+y)f(x﹣y),x,y∈R},有下列命題
①若f(x)= ,則f(x)∈M;
②若f(x)=2x,則f(x)∈M;
③f(x)∈M,則y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;
④f(x)∈M,則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1 , x2(x1≠x2),總有 <0成立;
其中所有正確命題的序號(hào)是 . (寫出所有正確命題的序號(hào))
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8.
(Ⅰ)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=x+m(m∈R)與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)P,Q,l與矩形ABCD有兩個(gè)不同的交點(diǎn)S,T.求 的最大值及取得最大值時(shí)m的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列和的通項(xiàng)公式分別為,將集合
中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列;將集合
中的元素從小到大依次排列,構(gòu)成數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知 是定義在(﹣∞,+∞)上的奇函數(shù),且滿足
(1)求實(shí)數(shù)a,b,并確定函數(shù)f(x)的解析式
(2)用定義證明f(x)在(﹣1,1)上是增函數(shù).
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:(x+1)(x﹣5)≤0,命題q:1﹣m≤x<1+m(m>0).
(1)若p是q的充分條件,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(2)若m=5,“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,求實(shí)數(shù)x的取值范圍.
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com