分析 (1)根據橢圓的離心率公式,求得a=2c,則b2=a2-c2=3c2,將E代入橢圓方程,即可求得a和c的值,即可求得橢圓方程;
(2)設P(x0,y0)(y0≠0),即可得出直線AP的方程,令x=2,即可得到點M的坐標,利用斜率計算公式即可得出k1,k2,再利用點P在橢圓上即可證明.
解答 解:(1)由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,則a=2c,則b2=a2-c2=3c2,將E代入橢圓方程:$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{9}{4×3{c}^{2}}=1$,解得:c=1,
則a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓的標準方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)證明:由(1)可知:A(-2,0),B(2,0),設P(x0,y0)(y0≠0),
則直線AP的方程為:y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2)
令x=2得M(2,$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$)
∴k1=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$,則k2=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$,
∴k1k2=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$,
∵P(x0,y0)在橢圓上,∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$,y02=$\frac{3(4-{x}_{0}^{2})}{4}$
∴k1k2=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3}{2}$為定值.
∴k1k2為定值.
點評 本題考查橢圓的定義及其性質、斜率的計算公式及其直線的點斜式.考查計算能力,屬于中檔題.
科目:高中數學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x)>g(x) | B. | f(x)<g(x) | C. | f(x)+g(b)>g(x)+f(b) | D. | f(x)+g(a)>g(x)+f(a) |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 充分而不必要條件 | B. | 必要而不充分條件 | ||
C. | 充分必要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | 充分不必要條件 | B. | 必要不充分條件 | ||
C. | 充要條件 | D. | 既不充分也不必要條件 |
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數學 來源: 題型:選擇題
A. | x+y-1=0 | B. | x+y+1=0 | C. | x-y+3=0 | D. | x-y-3=0 |
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