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20.已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1({a>b>0})$的離心率為$\frac{1}{2}$,且過點$E({1,\frac{3}{2}})$.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若點A,B分別是橢圓的左、右頂點,直線l經過點B且垂直于x軸,點P是橢圓上異于A,B的任意一點,直線AP交l于點M.設直線OM的斜率為k1,直線BP的斜率為k2,求證:k1k2為定值.

分析 (1)根據橢圓的離心率公式,求得a=2c,則b2=a2-c2=3c2,將E代入橢圓方程,即可求得a和c的值,即可求得橢圓方程;
(2)設P(x0,y0)(y0≠0),即可得出直線AP的方程,令x=2,即可得到點M的坐標,利用斜率計算公式即可得出k1,k2,再利用點P在橢圓上即可證明.

解答 解:(1)由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$,則a=2c,則b2=a2-c2=3c2,將E代入橢圓方程:$\frac{1}{4{c}^{2}}+\frac{9}{4×3{c}^{2}}=1$,解得:c=1,
則a=2,b=$\sqrt{3}$,
∴橢圓的標準方程:$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$;
(2)證明:由(1)可知:A(-2,0),B(2,0),設P(x0,y0)(y0≠0),
則直線AP的方程為:y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$(x+2)
令x=2得M(2,$\frac{4{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$)
∴k1=$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}+2}$,則k2=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$,
∴k1k2=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$,
∵P(x0,y0)在橢圓上,∴$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$,y02=$\frac{3(4-{x}_{0}^{2})}{4}$
∴k1k2=$\frac{2{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}^{2}-4}$=$\frac{3}{2}$為定值.
∴k1k2為定值.

點評 本題考查橢圓的定義及其性質、斜率的計算公式及其直線的點斜式.考查計算能力,屬于中檔題.

練習冊系列答案
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