精英家教網(wǎng)如圖,直二面角D-AB-E中,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,AE=EB,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE.
(Ⅰ)求證AE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角B-AC-E的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)D到平面ACE的距離.
分析:(Ⅰ)要證AE⊥平面BCE,只需證明AE垂直平面BCE內(nèi)的兩條相交直線BF、BC即可;
(Ⅱ)連接AC、BD交于G,連接FG,說明∠FGB為二面角B-AC-E的平面角,然后求二面角B-AC-E的大;
(Ⅲ)利用VD-ACE=VE-ACD,求點(diǎn)D到平面ACE的距離,也可以利用空間直角坐標(biāo)系,向量的數(shù)量積,證明垂直,求出向量的模.
解答:解:(I)∵BF⊥平面ACE,
∴BF⊥AE,
∵二面角D-AB-E為直二面角,
∴平面ABCD⊥平面ABE,又BC⊥AB,∴BC⊥平面ABE,∴BC⊥AE,
又BF?平面BCE,BF∩BC=B,∴AE⊥平面BCE.

精英家教網(wǎng)(II)連接AC、BD交于G,連接FG,
∵ABCD為正方形,∴BD⊥AC,
∵BF⊥平面ACE,BG⊥AC,?AC⊥平面BFG,
∴FG⊥AC,∠FGB為二面角B-AC-E的平面角,由(I)可知,AE⊥平面BCE,∴AE⊥EB,
又AE=EB,AB=2,AE=BE=
2
,
在直角三角形BCE中,CE=
BC2+BE2
=
6
,BF=
BC•BE
CE
=
2
2
6
=
2
3

在正方形中,BG=
2
,在直角三角形BFG中,sin∠FGB=
BF
BG
=
2
3
2
=
6
3

∴二面角B-AC-E為arcsin
6
3


(III)由(II)可知,在正方形ABCD中,BG=DG,D到平面ACE的距離等于B到平面ACE的距離,BF⊥平面ACE,線段BF的長(zhǎng)度就是點(diǎn)B到平面ACE的距離,即為D到平面ACE的距離所以D到平面的距離為
2
3
=
2
3
3

另法:過點(diǎn)E作EO⊥AB交AB于點(diǎn)O.OE=1.
∵二面角D-AB-E為直二面角,∴EO⊥平面ABCD.
設(shè)D到平面ACE的距離為h,
∵VD-ACE=VE-ACD,∴
1
3
S△ACB
•h=
1
3
S△ACD
•EO.
∵AE⊥平面BCE,∴AE⊥EC.∴h=
1
2
AD•DC•EO
1
2
AE•EC
=
1
2
×2×2×1
1
2
2
×
6
=
2
3
3

∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為
2
3
3


精英家教網(wǎng)解法二:
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O,OE所在直線為x軸,AB所在直線為y軸,
過O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,如圖.
∵AE⊥面BCE,BE?面BCE,∴AE⊥BE,
在Rt△AEB中,AB=2,O為AB的中點(diǎn),
∴OE=1.∴A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),
AE
=(1,1,0),
AC
=(0,2,2)
設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為
n
=(x,y,z),
AE
n
=0
AC
n
=0
,即
x+y=0
2y+2x=0.
,
解得
y=-x
z=x
,
令x=1,得
n
=(1,-1,1)是平面AEC的一個(gè)法向量.
又平面BAC的一個(gè)法向量為
m
=(1,0,0),
∴cos(
m
,
n
)=
m
,
n
|
m
|•|
n
|
=
1
3
=
3
3

∴二面角B-AC-E的大小為arccos
3
3

(III)∵AD∥z軸,AD=2,∴
AD
=(0,0,2),
∴點(diǎn)D到平面ACE的距離d=|
AD
|•|cos<
AD
,
n
>=
|
AD
n
|
|
n
|
=
2
3
=
2
3
3
點(diǎn)評(píng):本題考查直線與平面垂直的判定,二面角的求法,考查空間想象能力,邏輯思維能力,是中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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 (1)求點(diǎn)B到平面A1C1CA的距離;
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(Ⅰ)若D是AC中點(diǎn),求證:AB1∥平面BDC1;
(Ⅱ)求該五面體的體積.

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精英家教網(wǎng)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=
1
2
AA1=a
,∠BAC=90°,D為棱d=
3
5
10
的中點(diǎn).
(I)證明:A1D⊥平面ADC;
(II)求異面直線A1C與C1D所成角的大;
(III)求平面A1CD與平面ABC所成二面角的大。▋H考慮銳角情況).

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(1)求證:AB1∥平面BDC1;
(2)求二面角C-BC1-D的大小;
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(I) 求二面角O1-BC-D的大。
(II) 求點(diǎn)A到平面O1BC的距離.

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