Question

已知偶函數(shù)y=f（x）滿足：當(dāng)x≥2時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x），a∈R，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）
（1）求當(dāng)x≤-2時(shí)，f（x）的表達(dá)式；
（2）若直線y=1與函數(shù)y=f（x）的圖象恰好有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（3）試討論當(dāng)實(shí)數(shù)a，m滿足什么條件時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-m有4個(gè)零點(diǎn)且這4個(gè)零點(diǎn)從小到大依次成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)x≤-2，則-x≥2，再利用函數(shù)是偶函數(shù)可求；（2）分a＞2與a≤2進(jìn)行討論可求；（3）問題等價(jià)于f（x）=m零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點(diǎn)4個(gè)且均勻分布，從而可解．

解答：解：（1）設(shè)x≤-2，則-x≥2，∴f（-x）=（-x-2）（a+x）
又∵偶函數(shù)∴f（x）=f（-x）f（x）=（x+a）（-x-2）（2分）
（2）（Ⅰ）a＞2時(shí)x≥2，f（x）=（x-2）（a-x）
f(x)max=f(1+

a

2

)=(

a

2

-1)2（3分）

∴( a 2 -1)2＜1 ∴0＜a＜4 ∴2＜a＜4

（Ⅱ）a≤2時(shí)，都滿足
綜上，所以 a＜4（2分）
（3）f（x）=m零點(diǎn)x₁，x₂，x₃，x₄，y=f（x）與y=m交點(diǎn)4個(gè)且均勻分布
（Ⅰ）a≤2時(shí)

x1+x2=-2 2x2=x1+x3 x2+x3=0

得x1=3x2，x1=-

3

2

，x2=-

1

2

，x3=

1

2

，x4=

3

2

（2分）
m=

3

4

（Ⅱ）2＜a＜4時(shí)，m=

3

4

時(shí)
且(

a

2

-1)2＜

3

4

-

3

+2＜a＜

3

+2（2分）
所以 2＜a＜

3

+2時(shí)，m=

3

4

（Ⅲ）a=4時(shí)m=1時(shí)    （1分）
（IV）a＞4時(shí)，m＞1

x3+x4=2+a 2x3=x2+x4 x2=-x3

?x4=

2+a

4

，m=(

2+a

4

-2)(a-

2+a

4

)=

3a2-20a+12

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此時(shí)1＜m＜(

a

2

-1)2
所以 a＞

10+4 7

3

ora＜

10-4 7

3

（舍）a＞4且a＞

10+4 7

3

時(shí)，m=

3a2-20a+12

16

時(shí)存在  （2分）
綜上：
①a＜2+

3

時(shí)，m=

3

4

②a=4時(shí)，m=1
③a＞

10+4 7

3

時(shí)，m=

3a2-20a+12

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符合題意（1分）

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)，解析式的求解及分類討論的數(shù)學(xué)思想．