Question

在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，D為BC中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥AA₁；
（Ⅱ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅲ）若AC=AA₁=BC=2，∠A₁AC=60°，求三棱錐A₁-ABC的體積．

Answer 1

考點：直線與平面平行的判定,棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）因為∠ACB=90°，推斷出 AC⊥BC，同時側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，BC?平面ABC，推斷出BC⊥平面ACC₁A₁，最后利用線面垂直的性質(zhì)證明出 BC⊥AA₁．
（Ⅱ）設(shè)A₁B與AB₁的交點為O，連接OD，在△A₁BC中，O，D分別為A₁B，BC的中點，進而可知 OD∥A₁C，進而利用線面平行的判定定理得出A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，BC⊥平面ACC₁A₁，進而可知三棱錐A₁-ABC的體積為

1

3

S△_ACA1•BC．求得S△_ACA1=，則三棱錐A₁-ABC的體積可得．

解答： （Ⅰ）證明：因為∠ACB=90°，
所以 AC⊥BC，
又側(cè)面ACC₁A₁⊥平面ABC，
且平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
BC?平面ABC，
所以 BC⊥平面ACC₁A₁，
又AA₁?平面ACC₁A₁，
所以 BC⊥AA₁．
（Ⅱ）證明：設(shè)A₁B與AB₁的交點為O，連接OD，
在△A₁BC中，O，D分別為A₁B，BC的中點，
所以 OD∥A₁C，
又 OD?平面AB₁D，A₁C?平面AB₁D，
所以 A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，BC⊥平面ACC₁A₁，
所以三棱錐A₁-ABC的體積為

1

3

S△_ACA1•BC．
又 AC=AA₁=2，∠A₁AC=60°，
所以 S△_ACA1=

1

2

×2×2×sin60°=

3

，
所以 

1

3

S△_ACA1•|BC|=

1

3

×

3

×2=

2 3

3

．
三棱錐A₁-ABC的體積等于

2 3

3

．

點評：本題主要考查了線面平行和線面垂直的判定定理的應(yīng)用，棱錐體積的求法．考查了學(xué)生對基礎(chǔ)知識的綜合運用．