Question

已知數(shù)列{a_n}，S_n是其前n項的和，且滿足a₁=2，對一切n∈N^*都有Sn+1=3Sn+n2+2成立，設b_n=a_n+n．
（1）求a₂；
（2）求證：數(shù)列{b_n} 是等比數(shù)列；
（3）求使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＞

40

81

成立的最小正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應用

分析：（1）將n=2代入Sn+1=3Sn+n2+2即可求a₂；
（2）由Sn+1=3Sn+n2+2得到Sn=3Sn-1+(n-1)2+2兩式相減即可得出a_n+1與a_n的關(guān)系，根據(jù)等比數(shù)列定義即可判斷{b_n}是等比數(shù)列；
（3）利用等比數(shù)列求和公式，求出

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

，解不等式即可．

解答： 解：（1）由a₁=2及Sn+1=3Sn+n2+2得，
當n=1時，S2=3S1+12+2，
即a₁+a₂=3a₁+3
解得，a₂=7．
（2）由Sn+1=3Sn+n2+2得
Sn=3Sn-1+(n-1)2+2
兩式相減得，a_n+1=3a_n+2n-1，
∴a_n+1+（n+1）=3（a_n+n）
∵b_n=a_n+n，
∴b_n+1=3b_n．
∴{b_n}是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列．
（3）由（2）得bn=3n，
∴

1

bn

=

1

3n

，
∴

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＞

40

81

，
∴3ⁿ＞81
解得n＞4，最小正整數(shù)n的值5．

點評：本題主要考查a_n=S_n-S_n-1的靈活應用，等比數(shù)列的定義以及求和公式的應用，解不等式等知識．屬于中檔題．