Question

在數列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，則a₁₅+a₁₆=

 

．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：利用a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，分別求出a₁₅、a₁₆，則可求a₁₅+a₁₆．

解答： 解：由a₁=1，a_n+2=

1

an+1

，
得a₃=

1

2

，a₅=

1

1 2 +1

=

2

3

，a₇=

1

2 3 +1

=

3

5

，
a₉=

1

3 5 +1

=

5

8

，a₁₁=

8

13

，a₁₃=

13

21

，a₁₅=

21

34

，
∵a_n+2=

1

an+1

，a₁₀₀=a₉₆，
∴a₁₀₀=a₉₆=

1

a98+1

=

1

1 a96+1 +1

，
即a₉₆²+a₉₆-1=0，
解得a₉₆=

-1± 5

2

，
∴a₉₄=

-1± 5

2

，…a₁₆=

-1± 5

2

，
∴a₁₅+a₁₆=

21

34

+

-1± 5

2

=

4±17 5

34

，
故答案為：

4±17 5

34

點評：本題主要考查數列遞推公式的應用，根據遞推公式分別求出a₁₅，a₁₆的值是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．