Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-x-1．
（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程；
（2）如果曲線y=f（x）的某一切線與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3垂直，求切點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求切線的方程；
（2）設(shè)出切點(diǎn)（m，n），由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，可得切線的斜率為2，解m的方程可得m，代入函數(shù)f（x），計(jì)算即可得到所求切點(diǎn)的坐標(biāo)．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=x³-x-1的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，
可得曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線斜率為3-1=2，
即有曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，-1）處的切線方程為y-（-1）=2（x-1），
即為2x-y-3=0；
（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），
切線與直線y=-$\frac{1}{2}$x+3垂直，可得切線的斜率為2，
又f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x²-1，
可得3m²-1=2，
解得m=1或-1，
則n=m³-m-1=-1．
可得切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1）或（-1，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時(shí)考查兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，正確求導(dǎo)是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．