Question

（1）設函數f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|，x∈R，若關于x的不等式f（x）≥a在R上恒成立，求實數a的最大值；
（2）已知正數x，y，z滿足x+2y+3z=1，求

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值．

Answer 1

考點：二維形式的柯西不等式,絕對值不等式的解法

專題：綜合題,不等式的解法及應用

分析：（1）由絕對值三角不等式可得 f（x）≥|a-

5

2

|，可得|a-

5

2

|≥a，由此解得a的范圍．
（2）運用柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，即可得出結論．

解答： 解：（1）由絕對值三角不等式可得 f（x）=|x-

5

2

|+|x-a|≥|（x-

5

2

）-（x-a）|=|a-

5

2

|，
再由不等式f（x）≥a在R上恒成立，可得|a-

5

2

|≥a，
∴a-

5

2

≥a，或a-

5

2

≤-a，解得a≤

5

4

，故a的最大值為

5

4

．
（2）∵正數x，y，z滿足x+2y+3z=1，
∴由柯西不等式可得（x+2y+3z）（

3

x

+

2

y

+

1

z

）≥（

3

+2+

3

）²=16+8

3

，
當且僅當x：y：z=3：

3

：1時，等號成立，
∴

3

x

+

2

y

+

1

z

的最小值為16+8

3

．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數的恒成立問題，考查三元柯西不等式及應用，考查基本的運算能力，體現了等價轉化和分類討論的數學思想，屬于中檔題．