Question

已知空間四邊形ABCD，E、H分別是AB、AD的中點，F(xiàn)、G分別是邊BC、DC的三等分點（如圖），求證：
（1）對角線AC、BD是異面直線；
（2）直線EF和HG必交于一點，且交點在AC上．

Answer 1

分析：（1）利用反證法證明對角線AC、BD是共面直線，推出矛盾，從而證明是異面直
（2）說明直線EF和HG必交于一點，然后證明這點在平面ADC內．又在平面ABC內，必在它們的交線AC上．

解答：證明：（1）假設對角線AC、BD在同一平面α內，
則A、B、C、D都在平面α內，這與ABCD是空間四邊形矛盾，
∴AC、BD是異面直線．
（2）∵E、H分別是AB、AD的中點，∴EH

∥

.

1

2

BD．
又F、G分別是BC、DC的三等分點，
∴FG

∥

.

2

3

BD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE與GH相交．
設交點為O，又O在GH上，GH在平面ADC內，∴O在平面ADC內．
同理，O在平面ABC內．
從而O在平面ADC與平面ABC的交線AC上．

點評：本題考查異面直線的判定，平面的基本性質及推論，考查學生邏輯思維能力，是基礎題．