(本小題滿分13分)已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的

底面是菱形，且∠DAB=60°，AD=AA1，F為棱BB1的中點，

M為線段AC1的中點.   （1）求證：直線MF∥平面ABCD；

   （2）求證：平面AFC1⊥平面ACC1A1；

   （3）求平面AFC1與與平面ABCD所成二面角的大小.

(Ⅰ)  見解析  (Ⅱ) 見解析   （Ⅲ）30°或150°


解析:

法一：

   （1）延長C1F交CB的延長線于點N，連接AN。因為F是BB1的中點，

       所以F為C1N的中點，B為CN的中點�！ぁぁぁ�2分

       又M是線段AC1的中點，故MF∥AN�！ぁぁぁぁ�3分

       又MF平面ABCD，AN平面ABCD。

       ∴MF∥平面ABCD。    ···5分

   （2）證明：連BD，由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1

       可知A1A⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，

       ∴A1A⊥BD�！咚倪呅蜛BCD為菱形，∴AC⊥BD。

       又∵AC∩A1A=A，AC，AA平面ACC1A1。

       ∴BD⊥平面ACC1A1。         ·················7分

       在四邊形DANB中，DA∥BN且DA=BN，所以四邊形DANB為平行四邊形

       故NA∥BD，∴NA⊥平面ACC1A1，又因為NA平面AFC1

       ∴平面AFC1⊥ACC1A1

   （3）由（2）知BD⊥ACC1A1，又AC1ACC1A1，∴BD⊥AC1，∴BD∥NA，∴AC1⊥NA。

       又由BD⊥AC可知NA⊥AC，

       ∴∠C1AC就是平面AFC1與平面ABCD所成二面角的平面角或補角�！ぁぁ�10分

       在Rt△C1AC中，tan，故∠C1AC=30°···12分

       ∴平面AFC1與平面ABCD所成二面角的大小為30°或150°。···13分

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（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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