（12分）橢圓C：的兩個焦點分別為 ,是橢圓上一點，且滿足。

（1）求離心率e的取值范圍；

（2）當離心率e取得最小值時，點N( 0 , 3 )到橢圓上的點的最遠距離為。

(i)求此時橢圓C的方程；

(ii)設斜率為的直線l與橢圓C相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點P（0，）、Q的直線對稱？若能，求出的取值范圍；若不能，請說明理由。

 

【答案】

略

【解析】解：(1)、由幾何性質知的取值范圍為：≤e＜1………………3分

(2)、(i) 當離心率e取最小值時，橢圓方程可表示為+ = 1 。設H( x , y )是橢圓上的一點，則| NH |2 =x2+(y-3)2 = - (y+3)2+2b2+18 ，其中 - b≤y≤b

若0＜b＜3 ，則當y = - b時，| NH |2有最大值b2+6b+9 ，所以由b2+6b+9=50解得b = -3±5(均舍去) …………………5分

若b≥3，則當y = -3時，| NH |2有最大值2b2+18 ，所以由2b2+18=50解得b2=16

∴所求橢圓方程為+ = 1………………7分

(ii) 設 A( x1 , y1 ) ，B( x2 , y2 )，Q( x0 , y0 )，則由兩式相減得x0+2ky0=0；……8分

又直線PQ⊥直線l，∴直線PQ的方程為y= - x - ，將點Q( x0 , y0 )坐標代入得y0= - x0- ………②　　……9分

由①②解得Q( - k ,  )，而點Q必在橢圓的內部

∴ + < 1，…… 10分，  由此得k2 < ，又k≠0 ∴ - < k < 0或0 < k <

故當( - , 0 ) ∪( 0 , )時，A、B兩點關于過點P、Q、的直線對稱�！�12分

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知中心在原點O、焦點在x軸上的橢圓C的離心率為
3
2
，點A、B分別是橢圓C的長軸、短軸的端點，點O到直線AB的距離為
6
5
5
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）已知點E（3，0），設點P、Q是橢圓C上的兩個動點，滿足EP⊥EQ，求
EP
•
QP
的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）橢圓C：的兩個焦點為，點P在橢圓C上，且，.（1）求橢圓C的方程；（2）若直線過圓的圓心M，交橢圓C于A、B兩點，且A、B兩點關于點M對稱，求直線的方程。

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆陜西省高二下學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的兩個焦點為F1、F2，點P在橢圓C上，且|PF1|=,

|PF2|= ， PF1⊥F1F2.        

（1）求橢圓C的方程；(6分)

（2）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關于點M對稱，求直線L的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山西省晉中市高三上學期四校聯(lián)考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分10分）

橢圓C：的兩個焦點為、，點在橢圓C上，且，，.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 若直線過圓的圓心，交橢圓C于、兩點，且、關于點對稱，求直線的方程.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省高三第一次月考文科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

橢圓C：的兩個焦點為、，點在橢圓C上，且,

,.

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 若直線過圓的圓心，交橢圓C于、兩點，且、關于點對稱，求直線的方程.

 

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