分析 (Ⅰ)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),根據(jù)f′(2)的值,求出a,解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可;
(Ⅱ)問題轉(zhuǎn)化為存在x∈(1,+∞),使m>xlnx+2x−1x−1成立,得到m>g(x)min,設(shè)g(x)=xlnx+2x−1x−1(x>1),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g(x)的最小值,求出m的范圍即可.
解答 解:(Ⅰ)f′(x)=ax−1x2=ax−1x2,
由已知,f′(2)=2a−14=14,解得:a=1,
∴f′(x)=x−1x2,
當(dāng)x∈(0,1]時(shí),f'(x)≤0,f (x)是減函數(shù),
當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),f'(x)≥0,f (x)是增函數(shù),
∴函數(shù)f (x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1],單調(diào)遞增區(qū)間是[1,+∞).
(Ⅱ)解:∵x∈(1,+∞),
∴f(x)<m(x−1)+2x等價(jià)于m>xlnx+2x−1x−1,
即存在x∈(1,+∞),使m>xlnx+2x−1x−1成立,
∴m>g(x)min,
設(shè)g(x)=xlnx+2x−1x−1(x>1),
則g′(x)=x−2−lnx(x−1)2,
設(shè)h(x)=x-2-lnx(x>1),
則h′(x)=1−1x>0
∴h (x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,
又h (3)<0,h (4)>0,
∴h (x)在(1,+∞)上有唯一零點(diǎn),
設(shè)為x0,則x0-2=lnx0,且x0∈(3,4),
g(x)min=g(x0)=x0lnx0+2x0−1x0−1=x0(x0−2)+2x0−1x0−1=x0+1,
又m>x0+1,
∴m的最小值是5.
點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,考查函數(shù)存在性問題,是一道中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | -15+25i | B. | -15-25i | C. | -13+23i | D. | -13-23i |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | a>0,3a+b=0 | B. | a<0,3a+b=0 | C. | a>0,9a+b=0 | D. | a<0,9a+b=0 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | x216−y29=1 | B. | x29−y216=1 | C. | x29−y216=1(x>0) | D. | x216−y29=1(x>0) |
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