Question

6．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=cos2φ+1}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），定P（-1，0）．
（1）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求|AP|•|BP|的值．
（2）過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線m（斜率不為0），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求切線m的極坐標(biāo)方程．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，將直線l的參數(shù)方程代入，利用參數(shù)的幾何意義，即可求解；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線為x=ny-1（n≠0），代入拋物線方程，整理，利用△=0，求出普通方程，再化為極坐標(biāo)方程．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosφ}\\{y=cos2φ+1}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)），普通方程為y=2x²，
將直線l的參數(shù)方程代入可得t²-（4+$\sqrt{3}$）t+4=0，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t₁，t₂，則t₁t₂=4，
∴|AP|•|BP|=|t₁t₂|=4；
（2）由題意，切線斜率一定存在，設(shè)過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線為x=ny-1（n≠0），
代入拋物線方程，整理可得2nx²-x-1=0，△=1+8n=0，∴n=-$\frac{1}{8}$．
∴切線m的直角坐標(biāo)方程為8x+y+8=0，極坐標(biāo)方程為8ρcosθ+ρsinθ+8=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、直線與拋物線相切的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．