Question

已知函數(shù)f(x)=cos(2x-

2π

3

)-cos2x  (x∈R)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若f(

B

2

)=-

3

2

，b=1，c=

3

，且a＞b，試求角B和角C．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式第一項(xiàng)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，x∈Z列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由（1）確定的f（x）解析式，及f（

B

2

）=-

3

2

，求出sin（B-

π

3

）的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出B的度數(shù)，再由b與c的值，利用正弦定理求出sinC的值，由C為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，由a大于b得到A大于B，檢驗(yàn)后即可得到滿足題意B和C的度數(shù)．

解答：解：（1）f（x）=cos（2x-

2π

3

）-cos2x=

3

2

sin2x-

3

2

cos2x=

3

sin（2x-

π

3

），
令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，x∈Z，解得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，x∈Z，
則函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，x∈Z；
（2）∵f（B）=

3

sin（B-

π

3

）=-

3

2

，∴sin（B-

π

3

）=-

1

2

，
∵0＜B＜π，∴-

π

3

＜B-

π

3

＜

2π

3

，
∴B-

π

3

=-

π

6

，即B=

π

6

，
又b=1，c=

3

，
∴由正弦定理

b

sinB

=

c

sinC

得：sinC=

csinB

b

=

3

2

，
∵C為三角形的內(nèi)角，
∴C=

π

3

或

2π

3

，
當(dāng)C=

π

3

時(shí)，A=

π

2

；當(dāng)C=

2π

3

時(shí)，A=

π

6

（不合題意，舍去），
則B=

π

6

，C=

π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦定理，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．