Question

已知函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)。定義：若對給定的實數(shù)a（a≠0），函數(shù)y=f（x+a）與y=f^-1（x+a）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a和性質(zhì)”；若函數(shù)y=f（ax）與y=f^-1（ax）互為反函數(shù)，則稱y=f（x）滿足“a積性質(zhì)”。
（1）判斷函數(shù)g（x）=x²+1（x＞0）是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由；
（2）求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù)；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）（x＞0）對任何a＞0，滿足“a積性質(zhì)”。求y=f（x）的表達式。

Answer 1

解：（1）函數(shù)的反函數(shù)是，
∴，
而，其反函數(shù)為，
故函數(shù)不滿足“1和性質(zhì)”；
（2）設(shè)函數(shù)滿足“2和性質(zhì)”，k≠0，
∴，
而，
由“2和性質(zhì)”定義可知對x∈R恒成立，
∴k=-1，b∈R，即所求一次函數(shù)為f（x）=-x+b（b∈R）。
（3）設(shè)a＞0，x₀＞0，且點在y=f（ax）圖像上，
則在函數(shù)圖象上，
故，可得，
令，
∴；
綜上所述，，，
其反函數(shù)就是，
而，
故y=f（ax）與互為反函數(shù)。