Question

某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l₁，l₂上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6km處，B位于O的北偏東60°方向10km處．
（Ⅰ）求集鎮(zhèn)A，B間的距離；
（Ⅱ）隨著經(jīng)濟的發(fā)展，為緩解集鎮(zhèn)O的交通壓力，擬在海岸線l₁，l₂上分別修建碼頭M，N，開辟水上航線．勘測時發(fā)現(xiàn)：以O(shè)為圓心，3km為半徑的扇形區(qū)域為淺水區(qū)，不適宜船只航行．請確定碼頭M，N的位置，使得M，N之間的直線航線最短．

Answer 1

考點：解三角形的實際應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,解三角形

分析：（Ⅰ）在△ABO中，根據(jù)余弦定理，可求AB；
（Ⅱ）依題意得，直線MN必與圓O相切．設(shè)切點為C，連接OC，則OC⊥MN，利用面積求出xy，由余弦定理得，c²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy≥3xy，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）在△ABO中，OA=6，OB=10，∠AOB=120°，…（1分）
根據(jù)余弦定理得，AB²=OA²+OB²-2•OA•OB•cos120°…（3分）
=62+102-2×6×10×(-

1

2

)=196，
所以AB=14．
故A，B兩集鎮(zhèn)間的距離為14km．…（5分）
（Ⅱ）依題意得，直線MN必與圓O相切．設(shè)切點為C，連接OC，則OC⊥MN．…（6分）
設(shè)OM=x，ON=y，MN=c，
在△OMN中，由

1

2

MN•OC=

1

2

OM•ON•sin120°，
得

1

2

×3c=

1

2

xysin120°，即xy=2

3

c，…（8分）
由余弦定理得，c²=x²+y²-2xycos120°=x²+y²+xy≥3xy，…（10分）
所以c2≥6

3

c，解得c≥6

3

，…（11分）
當(dāng)且僅當(dāng)x=y=6時，c取得最小值6

3

．
所以碼頭M，N與集鎮(zhèn)O的距離均為6km時，M，N之間的直線航線最短，最短距離為6

3

km．…（12分）

點評：本小題主要考查解三角形、基本不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等．