Question

已知函數(shù)f(x)=

x+b

1+x2

為奇函數(shù)．
（I）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（II）解關(guān)于x的不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)函數(shù)為R上的奇函數(shù)，得到f（0）=0，即b=0，所以函數(shù)解析式為：f(x)=

x

x2+1

．然后用求導(dǎo)數(shù)的方法研究其單調(diào)性，根據(jù)它的導(dǎo)數(shù)f'（x）在區(qū)間（1，+∞）上為負(fù)數(shù)，得到函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)；
（II）首先移項(xiàng)，得到不等式f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，將原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．注意到括號(hào)里的兩個(gè)自變量都是不小于1的實(shí)數(shù)，從而結(jié)合函數(shù)在區(qū)間（1，+∞）上為減函數(shù)，得到1+2x²＜x²-2x+4，解之得-3＜x＜1．從而得到原不等式的解集．

解答：解：（I）∵函數(shù)f(x)=

x+b

1+x2

為定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，即b=0，
∴函數(shù)解析式為：f(x)=

x

x2+1

．
∴對(duì)f（x）求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)=

(x2+1)-x•2x

(x2+1)2

=

1-x2

(x2+1)2

．
∵當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)=

1-x2

(x2+1)2

＜0成立，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上是減函數(shù)．
（II）由f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0，得f（1+2x²）＞-f（-x²+2x-4）．
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴-f（-x²+2x-4）=f（x²-2x+4）．
原不等式化為：f（1+2x²）＞f（x²-2x+4）．
又∵1+2x²≥1，x²-2x+4=（x-1）²+3＞1，且f（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴1+2x²＜x²-2x+4，即x²+2x-3＜0，
解之得-3＜x＜1．
∴不等式f（1+2x²）+f（-x²+2x-4）＞0的解集是{x|-3＜x＜1}

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)分式函數(shù)為例，著重研究其單調(diào)性和奇偶性，考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合、一元二次不等式的解法等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．