Question

如圖的幾何體中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB=2，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．
（1）求證：AF∥平面BCE；
（2）求證：平面BCE⊥平面CDE；
（3）求此幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）通過取CE的中點(diǎn)G，利用三角形的中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)及線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用面面垂直的判定定理在平面BCE內(nèi)找一條直線與平面CDE垂直即可證明；
（3）取正三角形ACD的邊AD上的高CM，證明CM⊥平面ABED，再利用三棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答：證明：（1）取CE的中點(diǎn)G，連接FG、BG．
∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=

1

2

DE．
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．
又AB=

1

2

DE，∴GF=AB．
∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．
∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE．
（2）∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD．
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥CD．
又CD∩DE=D，∴AF⊥平面CDE．
∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE．
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE．
（3）取AD的中點(diǎn)M，連接CM，由△ACD為等邊三角形，∴CM⊥AD．
∵平面ACD⊥平面ABED，∴CM⊥平面ABED．
∵AD=2，∴CM=

3

．
由直角梯形ABED得S=

(1+2)×2

2

=3，
∴V_{三棱錐C-ABED}=

1

3

×3×

3

=

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線面、面面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理及棱錐的體積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．