Question

已知當(dāng)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b時(shí)，橢圓的面積是πab．請(qǐng)針對(duì)橢圓，求解下列問題：
（1）若m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4．求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率；
（2）若m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4．求點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率以及點(diǎn)P落在橢圓上的概率．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m，n是實(shí)數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)，
所有形如（m，n）的點(diǎn)覆蓋的圖形的面積是80．
橢圓圍成的區(qū)域在其內(nèi)部，且面積為20π．
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓內(nèi)的概率為=
（2）當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)，
點(diǎn)P（m，n）共有11×9=99個(gè)，
其中點(diǎn)（0，4），（0，﹣4），（5，0），（﹣5，0）四點(diǎn)落在橢圓上．
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓上的概率為
當(dāng)m＞0，n＞0時(shí)，點(diǎn)（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（4，3）（4，4），（3，4），（2，4）（1，4）共9點(diǎn)在橢圓外．
由對(duì)稱性知，當(dāng)m，n是整數(shù)，且|m|≤5，|n|≤4時(shí)，共有4×9=36個(gè)點(diǎn)在橢圓外．
故點(diǎn)P（m，n）落在橢圓外的概率是=．