【題目】已知函數(shù),.
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值;
(2)討論函數(shù)的零點個數(shù).
【答案】(1)增區(qū)間為,減區(qū)間為,極大值為,無極小值,(2)當時,函數(shù)沒有零點;當或時.函數(shù)有1個零點;當時,函數(shù)有2個零點.
【解析】
(1)求導(dǎo),求出的解,即可求出單調(diào)區(qū)間,進而求出極值;
(2)求導(dǎo),求出單調(diào)區(qū)間,確定極值,根據(jù)極值的正負以及零點存在性定理,對分類討論,即可求解.
由題得,函數(shù)的定義域為.
(1)當時,,
所以,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.
所以當時,有極大值,
且極大值為,無極小值.
(2)由,得.
當時,恒成立,函數(shù)單調(diào)遞增,
當時,,
又,所以函數(shù)有且只有一個零點;
當時,令,
當時,,函數(shù)單調(diào)遞增;
當時,,函數(shù)單調(diào)遞減,
所以的極大值為
,
①當,即得時,
解得,此時函數(shù)沒有零點;
②當,即時,函數(shù)有1個零點;
③當,即時,
.
當時,令,
則在上恒成立,
所以,即,
所以,
故當且時,.
當時,有,
所以函數(shù)有2個零點.
綜上所述:當時,函數(shù)沒有零點;
當或時.函數(shù)有1個零點;
當時,函數(shù)有2個零點.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)滿足:對于任意正數(shù),都有,且,則稱函數(shù)為“L函數(shù)”.
(1)試判斷函數(shù)與是否是“L函數(shù)”;
(2)若函數(shù)為“L函數(shù)”,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)若函數(shù)為“L函數(shù)”,且,求證:對任意,都有.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PCD,,,,E為AD的中點,AC與BE相交于點O.
(1)證明:平面ABCD.
(2)求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中a為非零常數(shù).
討論的極值點個數(shù),并說明理由;
若,證明:在區(qū)間內(nèi)有且僅有1個零點;設(shè)為的極值點,為的零點且,求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“團購”已經(jīng)滲透到我們每個人的生活,這離不開快遞行業(yè)的發(fā)展,下表是2013-2017年全國快遞業(yè)務(wù)量(x億件:精確到0.1)及其增長速度(y%)的數(shù)據(jù)
(1)試計算2012年的快遞業(yè)務(wù)量;
(2)分別將2013年,2014年,…,2017年記成年的序號t:1,2,3,4,5;現(xiàn)已知y與t具有線性相關(guān)關(guān)系,試建立y關(guān)于t的回歸直線方程;
(3)根據(jù)(2)問中所建立的回歸直線方程,估算2019年的快遞業(yè)務(wù)量
附:回歸直線的斜率和截距地最小二乘法估計公式分別為:,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了調(diào)查一款手機的使用時間,研究人員對該款手機進行了相應(yīng)的測試,將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示:
并對不同年齡層的市民對這款手機的購買意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
愿意購買該款手機 | 不愿意購買該款手機 | 總計 | |
40歲以下 | 600 | ||
40歲以上 | 800 | 1000 | |
總計 | 1200 |
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計該款手機的平均使用時間;
(2)請將表格中的數(shù)據(jù)補充完整,并根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認為“愿意購買該款手機”與“市民的年齡”有關(guān).
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】高三年級某班50名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示,成績分組區(qū)間為:.其中a,b,c成等差數(shù)列且.物理成績統(tǒng)計如表.(說明:數(shù)學(xué)滿分150分,物理滿分100分)
分組 | |||||
頻數(shù) | 6 | 9 | 20 | 10 | 5 |
(1)根據(jù)頻率分布直方圖,請估計數(shù)學(xué)成績的平均分;
(2)根據(jù)物理成績統(tǒng)計表,請估計物理成績的中位數(shù);
(3)若數(shù)學(xué)成績不低于140分的為“優(yōu)”,物理成績不低于90分的為“優(yōu)”,已知本班中至少有一個“優(yōu)”同學(xué)總數(shù)為6人,從此6人中隨機抽取3人,記X為抽到兩個“優(yōu)”的學(xué)生人數(shù),求X的分布列和期望值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由中央電視臺綜合頻道和唯眾傳媒聯(lián)合制作的開講啦是中國首檔青年電視公開課,每期節(jié)目由一位知名人士講述自己的故事,分享他們對于生活和生命的感悟,給予中國青年現(xiàn)實的討論和心靈的滋養(yǎng),討論青年們的人生問題,同時也在討論青春中國的社會問題,受到青年觀眾的喜愛,為了了解觀眾對節(jié)目的喜愛程度,電視臺隨機調(diào)查了A、B兩個地區(qū)的100名觀眾,得到如表的列聯(lián)表,已知在被調(diào)查的100名觀眾中隨機抽取1名,該觀眾是B地區(qū)當中“非常滿意”的觀眾的概率為.
非常滿意 | 滿意 | 合計 | |
A | 30 | 15 | |
B | |||
合計 |
完成上述表格并根據(jù)表格判斷是否有的把握認為觀眾的滿意程度與所在地區(qū)有關(guān)系;
若以抽樣調(diào)查的頻率為概率,從A地區(qū)隨機抽取3人,設(shè)抽到的觀眾“非常滿意”的人數(shù)為X,求X的分布列和期望.
附:參考公式:.
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