Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足：2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=a_nlog₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，根據(jù)題意和等比數(shù)列的通項公式列出方程，求出首項和公比，代入等比數(shù)列的通項公式即可；
（2）由（1）和條件求出b_n=n•2ⁿ，利用錯位相減可求數(shù)列的和．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項為a₁，公比為q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項，
∴

2a1+a1q2=3a1q 2(a1q2+2)=a1q+a1q3

，
由a₁≠0得，解得a₁=2，q=2，
∴a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
（2）由（1）得，b_n=a_nlog₂a_n=n•2ⁿ
∴s_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹
兩式相減可得，-s_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2
∴s_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式，等差數(shù)列的性質(zhì)，以及錯位相減求數(shù)列的和的應(yīng)用，考查了計算能力．