Question

已知O為原點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是橢圓C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）上任意兩點(diǎn)，向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

⊥

q

，橢圓的離心率e=

3

2

，求△AOB的面積是否為定值？

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a=2，且

c

a

=

3

2

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）由已知條件推導(dǎo)出x1x2+

y1y2

4

=0，設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，聯(lián)立x2+

y2

4

=1，得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出三角形AOB的面積為定值1．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）的離心率e=

3

2

，
∴a=2，且

c

a

=

3

2

，
解得a=2，c=

3

，m=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+

y2

4

=1．（5分）
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
是橢圓C：

x2

m

+

y2

4

=1（0＜m＜4）上任意兩點(diǎn)，
向量

p

=（x₁，

y1

2

），

q

=（x₂，

y2

2

）且

p

⊥

q

，
∴x1x2+

y1y2

4

=0，（6分）
當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，
設(shè)直線AB方程為：y=kx+m，聯(lián)立x2+

y2

4

=1，
消去y得（4+k²）x²+2kmx+m²-4=0，
∴△=4k²m²-4（4+k²）（m²-4）＞0，
x1+x2=-

2km

4+k2

，x1x2=

m2-4

4+k2

，
∴4x₁x₂+y₁y₂=4x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（4+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
即（4+k²）（

m2-4

4+k2

）+（km）（-

2km

4+k2

）+m²=0，
化簡(jiǎn)得2m²-k²-4=0，（8分）
S△ADB=

1

2

|-

m

k

|•|y1-y2|
=

1

2

|m||x₁-x₂|
=

1

2

|m|

(x1+x2)2-4x1x2

=

1

2

|m|

(- 2km 4+k2 )2-4• m2-4 4+k2

=

1

2

|m|

4k2m2-4(m2-4)(4+k2) (4+k2)2

=

1

2

|m|

4k2m2-16m2-4k2m2+16k2+64 (4+k2)2

=

1

2

|m|

4 k2-m2+4

4+k2

=

1

2

|m|

4 2m2-m2

2m2

=1．（10分）
當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，
設(shè)直線AB方程為：x=t，（-1＜t＜1），
聯(lián)立橢圓x2+

y2

4

=1，解得y=±2

1-t2

，
不妨設(shè)A（t，2

1-t2

），B（t，-2

1-t2

），
代入4x₁x₂+y₁y₂=0，得t2=

1

2

，t=±

2

2

，
此時(shí)S_△ADE=

1

2

•

2

2

•2

2

=1，
綜上，三角形AOB的面積為定值1．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．