Question

22、如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，以AB為直徑的半圓交BC于D，過D作圓的切線交AC于E．
求證：（1）AE=CE；（2）CD•CB=4DE²．

Answer 1

分析：（1）連接AD，根據直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形ACD，根據切線的判定定理證明AC也是圓的切線．根據切線長定理得到AE=DE，根據等邊對等角和等角的余角相等證明CE=DE．
（2）根據切割線定理和（1）中的結論．

解答：證明：（1）連接AD；
∵AB是圓的直徑，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠A=90°，
∴AC是圓的切線；
又∵DE是圓的切線，
∴DE=AE，
∴∠ADE=∠EAD，
∴∠C=∠CDE，
∴CE=DE，
∴AE=CE．
（2）根據切割線定理得CA²=CD•CB；
∵由（1）得CA=2DE，
∴CD•CB=4DE²．

點評：構造直徑所對的圓周角是圓中構造直角三角形的一種常用方法．掌握切線長定理和切割線定理的運用．本題主要考查與圓有關的比例線段、圓中的切割線定理，屬于基礎題．