Question

選修4-2：矩陣與變換已知矩陣M=

1 0 0 -1

，N=

1 2 3 4

①求二階矩陣X，使MX=N；
②求矩陣X的特征值以及其中一個特征值相應的一個特征向量．

Answer 1

分析：①先設出所求矩陣，根據點的列向量在矩陣的作用下變?yōu)榱硪涣邢蛄�，建立一個四元一次方程組，解方程組即可．
②先根據特征值的定義列出特征多項式，令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量．

解答：解：①設 X=

x y z w

，
按題意有

1 0 0 1

x y z w

=

1 2 3 4

，（2分）
根據矩陣乘法法則有

2x-z=4 2y-w=-1 -4x+3z=-3 -4y+3w=1

（6分）
解之得

x=1 y=2 z=-3 w=-4

，
∴X=

1 2 -3 -4

．（10分）
②矩陣M的特征多項式為 f(λ)=

.

λ-1     2  -3    λ+4

.

=λ2+3λ+2，（2分）
令f（λ）=0，解得λ₁=-1，λ₂=-2，（4分）
將λ₁=1代入二元一次方程組

(λ-1)•x+2•y=0 -3x+(λ+4)y=0

解得x=-y，（6分）
所以矩陣X屬于特征值1的一個特征向量為

1 -1

；（8分）
同理，矩陣X屬于特征值2的一個特征向量為

2 -3

（10分）．

點評：本題主要考查了二階矩陣的求解，以及待定系數法的應用等有關知識，本題主要考查來了矩陣特征值與特征向量的計算等基礎知識，屬于基礎題．