Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+

1

3

a_n=1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₄（1-S_n+1）（n∈N⁺），T_n=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

，求使T_n＞

503

1007

成立的最小的正整數(shù)n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用“n=1時(shí)，a₁=S₁，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1”即可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（Ⅱ）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時(shí)，S1+

1

3

a1=1⇒a1=

3

4

．
當(dāng)n≥2時(shí)，

Sn+ 1 3 an=1 Sn-1+ 1 3 an-1=1

⇒Sn-Sn-1+

1

3

(an-an-1)=0，
⇒an=

1

4

an-1．
∴數(shù)列{a_n}是以

3

4

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列． 
故an=

3

4

(

1

4

)n-1=3(

1

4

)n（n∈N^*）．
（Ⅱ）由（1）知1-Sn+1=

1

3

an+1=(

1

4

)n+1，
∴bn=log4(1-Sn+1)=log4(

1

4

)n+1=-(n+1)．
∴

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

．
∴Tn=

1

b1b2

+

1

b2b3

+…

1

bnbn+1

=(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…(

1

n+1

-

1

n+2

)=

1

2

-

1

n+2

，
∴

1

2

-

1

n+2

＞

503

1007

⇒n＞2012，
故使Tn＞

503

1007

成立的最小的正整數(shù)n的值n=2013．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．